Le paradoxe des deux enveloppes : quand la logique dit « il faut toujours changer »

Un casse-tête de prise de décision qui montre comment la probabilité et l’intuition peuvent s’opposer

Le paradoxe des deux enveloppes est une célèbre expérience de pensée sur la prise de décision en situation d’incertitude. On te donne deux enveloppes fermées, chacune contenant une certaine somme d’argent. Tu sais que l’une des enveloppes contient exactement deux fois plus d’argent que l’autre, mais tu ne sais pas laquelle est laquelle. Tu choisis une enveloppe puis on t’offre la possibilité de changer. Un certain raisonnement semble dire qu’il est toujours préférable de changer, quel que soit le choix initial. C’est cette conclusion étrange qui en fait un paradoxe.

MISE EN PLACE DU PARADOXE

La situation peut être décrite ainsi :

•Il y a deux enveloppes. L’une contient une somme plus petite, appelons-la A. L’autre contient une somme plus grande, 2A.

•Tu ne sais pas laquelle est laquelle et, de ton point de vue, chaque enveloppe a la même probabilité de contenir A ou 2A

•Tu choisis une enveloppe et tu notes X la somme qu’elle contient (tu ne l’as pas encore ouverte ; X est juste un symbole pour « ce qu’il y a dedans »).

•Avant d’ouvrir l’enveloppe, on te propose de changer pour l’autre.

La question est : dois-tu changer ?

À première vue, il semble qu’il n’y ait aucune raison de préférer une enveloppe à l’autre. Si tout est parfaitement symétrique, garder ton premier choix ou changer devrait être équivalent. Mais le paradoxe apparaît parce qu’il existe un argument tentant qui semble montrer que changer est toujours meilleur.

POURQUOI IL SEMBLE QU’IL FAILLE TOUJOURS CHANGER

Voici l’argument « paradoxal » habituel :

•Soit X la somme dans l’enveloppe que tu as choisie.

•Si ton enveloppe contient la somme plus petite A, alors l’autre enveloppe contient 2A = 2X.

•Si ton enveloppe contient la somme plus grande 2A, alors l’autre enveloppe contient A = X/2.

•De ton point de vue, il semble que chacun de ces cas (avoir A ou avoir 2A) ait une probabilité de 1/2.

Tu pourrais donc calculer la valeur espérée du changement ainsi :

•Avec une probabilité de 1/2, changer te donne 2X.

•Avec une probabilité de 1/2, changer te donne X/2.

Valeur espérée du changement :

(1/2) · 2X + (1/2) · (X/2)

= X + X/4

= 5X/4.

C’est plus grand que X, la somme dans ton enveloppe actuelle. Cet argument semble donc dire :

•Quelle que soit la valeur de X,

•Le gain espéré en changeant est de 5X/4,

•Donc il faudrait toujours changer.

Mais cela crée un paradoxe : si ce raisonnement est correct, tu voudrais toujours changer, même si tu avais initialement choisi la « meilleure » enveloppe. Et si tu appliques le même raisonnement après avoir changé, il te dit encore de rechanger. Tu finirais par vouloir changer indéfiniment, ce qui n’a évidemment aucun sens.

Il doit donc y avoir quelque chose de faux dans l’argument.

OÙ LA LOGIQUE DÉRAILLE

Le problème clé est caché dans la façon dont nous utilisons le symbole X et dont nous attribuons les probabilités.

Quand nous écrivons « l’enveloppe peut contenir X, et l’autre peut contenir X/2 ou 2X », nous changeons implicitement le sens de X :

•Dans le cas où ton enveloppe contient la somme plus petite A, X = A et l’autre enveloppe contient 2X = 2A.

•Dans le cas où ton enveloppe contient la somme plus grande 2A, X = 2A et l’autre enveloppe contient X/2 = A.

Ainsi, X n’est pas une valeur fixe et connue ; il représente « la somme qui se trouve, par hasard, dans l’enveloppe que tu as choisie ». Les probabilités « 1/2 pour X/2 et 1/2 pour 2X » ne sont pas correctement définies pour un X fixe. Le calcul mélange deux situations différentes comme si elles étaient identiques.

Une analyse plus rigoureuse doit commencer par une description de la manière dont les sommes dans les enveloppes sont choisies au départ. Par exemple :

•La somme A est-elle choisie dans une plage limitée (par exemple, toujours entre 1 et 1 000) ?

•La somme A est-elle choisie selon une distribution de probabilité (par exemple, des puissances de 2 avec certaines probabilités) ?

•A peut-elle être arbitrairement grande, sans limite supérieure ?

Selon ces hypothèses, les probabilités que l’autre enveloppe contienne la moitié ou le double de ta somme ne sont pas forcément 1/2 et 1/2 une fois que tu conditionnes sur la somme observée.

Lorsque tu utilises un modèle de probabilité cohérent pour la manière dont A est choisie, tu constates que :

•Soit changer et ne pas changer ont exactement la même valeur espérée, soit

•La règle « toujours changer » ne tient pas pour toutes les sommes possibles.

Autrement dit, l’argument de base « 5X/4 » repose sur un mauvais usage du symbole X et sur des hypothèses irréalistes concernant les probabilités.

FAÇONS COURANTES DE RÉSOUDRE LE PARADOXE

Différentes explications mettent l’accent sur différents aspects de l’erreur. Voici quelques-unes des plus courantes.

•Montants bornés ou réalistes

Dans le monde réel, l’argent n’est pas infini. Il existe toujours une limite pratique à ce qui pourrait se trouver dans une enveloppe. Lorsque tu inclus de telles limites dans ton modèle, la valeur espérée du changement n’est plus toujours supérieure à celle du fait de rester. Pour des montants très grands, il peut même être plus raisonnable de ne pas changer, car il est peu probable que l’autre enveloppe contienne encore plus.

•Le rôle de la distribution a priori

Pour parler de probabilités et de valeurs espérées, il faut préciser comment les montants initiaux sont choisis. Cette hypothèse de départ s’appelle la distribution a priori. Si elle est mal choisie (par exemple, d’une manière qui n’a pas de sens pour des montants très grands), alors le paradoxe apparaît. Avec une a priori raisonnable, la valeur espérée du changement n’est pas strictement meilleure que celle du fait de rester pour toute valeur possible de X.

•Confusion des probabilités conditionnelles

L’argument paradoxal traite la « probabilité d’un montant plus grand » et la « probabilité d’un montant plus petit » comme si elles valaient toujours 1/2. Mais une fois que tu observes ou supposes une somme précise X, ces probabilités peuvent changer. Il peut devenir plus probable que X soit le plus grand montant, ou au contraire qu’il soit le plus petit, selon ton modèle. Ignorer ce point mène à de mauvaises conclusions.

•Ignorer la stratégie et se concentrer sur une seule étape

Une autre manière de voir les choses est de considérer des stratégies complètes, pas seulement un changement unique. Si tu utilises toujours l’argument « je change » dans une situation symétrique, tu aboutis à une stratégie qui te dit de continuer à changer dans un sens puis dans l’autre sans rien gagner. Cela montre que le raisonnement ne peut pas être correct, car une bonne règle de décision ne devrait pas conduire à une hésitation sans fin.

POURQUOI CE PARADOXE EST IMPORTANT

Le paradoxe des deux enveloppes est plus qu’une simple curiosité. Il illustre plusieurs idées importantes :

•Notre intuition sur la probabilité et l’espérance peut être peu fiable lorsque l’information est incomplète.

•Il est facile d’écrire des formules qui ont l’air correctes mais qui utilisent en réalité des hypothèses incohérentes.

•Prendre des décisions réalistes exige de réfléchir soigneusement à la manière dont la situation est construite, et pas seulement de manipuler l’algèbre.

Ce paradoxe est lié à la théorie des probabilités, à la théorie de la décision et même à la philosophie. On l’utilise souvent pour montrer comment des modèles « infinis » ou non bornés peuvent produire des résultats étranges, et pourquoi il est crucial de préciser exactement comment les probabilités sont définies.

CONCLUSION

Le paradoxe des deux enveloppes semble simple : deux enveloppes, l’une contenant deux fois plus d’argent que l’autre, et un choix libre de changer. Un calcul rapide semble montrer que changer augmente toujours ton gain espéré. Mais quand on regarde de plus près, on voit que ce calcul utilise mal le symbole X et ignore la façon dont les montants dans les enveloppes sont réellement choisis.

Une fois ces hypothèses corrigées, le paradoxe disparaît. Changer n’est pas toujours meilleur ; dans de nombreux modèles raisonnables, la valeur espérée de changer et de ne pas changer est la même. Ce paradoxe rappelle utilement que réfléchir aux hypothèses est aussi important que faire les calculs.