La paradoja de los dos sobres: cuando la lógica dice “cambia siempre””

Un rompecabezas de toma de decisiones que muestra cómo la probabilidad y la intuición pueden chocar

La paradoja de los dos sobres es un famoso experimento mental sobre la toma de decisiones bajo incertidumbre. Se te dan dos sobres cerrados, cada uno con una cantidad de dinero. Sabes que uno de los sobres contiene el doble de dinero que el otro, pero no sabes cuál es cuál. Eliges un sobre y luego te ofrecen la posibilidad de cambiar. Un cierto razonamiento parece afirmar que cambiar siempre es mejor, sin importar qué sobre elegiste primero. Esta conclusión extraña es lo que la convierte en una paradoja.

PLANTEAMIENTO BÁSICO DE LA PARADOJA

La situación se puede describir así:

•Hay dos sobres. Uno contiene una cantidad menor de dinero, llamémosla A. El otro contiene una cantidad mayor, 2A.

•No sabes cuál es cuál y, desde tu punto de vista, cada sobre tiene la misma probabilidad de contener A o 2A

•Eliges uno de los sobres y llamas X a la cantidad que hay dentro (todavía no lo has abierto; X es solo un símbolo de “lo que sea que haya dentro”).

•Antes de abrir el sobre, se te ofrece la opción de cambiar al otro.

La pregunta es: ¿deberías cambiar?

A primera vista, parece que no hay ninguna razón para preferir un sobre sobre el otro. Si todo es perfectamente simétrico, entonces quedarse con tu primera elección o cambiar debería ser igual de bueno. Pero la paradoja surge porque hay un argumento tentador que parece demostrar que cambiar siempre es mejor.

POR QUÉ PARECE QUE DEBERÍAS CAMBIAR SIEMPRE

Este es el argumento “paradójico” habitual:

•Sea X la cantidad en el sobre que elegiste.

•Si tu sobre contiene la cantidad menor A, entonces el otro sobre contiene 2A = 2X.

•Si tu sobre contiene la cantidad mayor 2A, entonces el otro sobre contiene A = X/2.

•Desde tu punto de vista, parece que cada uno de estos casos (tener A o tener 2A) tiene probabilidad 1/2.

Así que podrías calcular el valor esperado de cambiar así:

•Con probabilidad 1/2, al cambiar obtienes 2X.

•Con probabilidad 1/2, al cambiar obtienes X/2.

Valor esperado de cambiar:

(1/2) · 2X + (1/2) · (X/2)

= X + X/4

= 5X/4.

Esto es mayor que X, la cantidad en tu sobre actual. Así que este argumento parece decir:

•Sea cual sea X,

•La ganancia esperada de cambiar es 5X/4,

•Por lo tanto, deberías cambiar siempre.

Pero esto crea una paradoja: si el razonamiento es correcto, entonces siempre querrías cambiar, incluso si originalmente hubieras elegido el sobre “mejor”. Y si aplicas el mismo razonamiento después de cambiar, vuelve a decirte que deberías volver a cambiar. Terminarías queriendo cambiar para siempre, lo cual claramente no tiene sentido.

Así que debe haber algo mal en el argumento.

DÓNDE FALLA EL RAZONAMIENTO

El problema clave está oculto en cómo usamos el símbolo X y cómo asignamos probabilidades.

Cuando escribimos “el sobre puede contener X y el otro puede contener X/2 o 2X”, estamos cambiando silenciosamente el significado de X:

•En el caso en que tu sobre contiene la cantidad menor A, X = A y el otro sobre contiene 2X = 2A.

•En el caso en que tu sobre contiene la cantidad mayor 2A, X = 2A y el otro sobre contiene X/2 = A.

Así que X no es un valor fijo y conocido; representa “la cantidad que resulte estar en el sobre que elegiste”. Las probabilidades “1/2 para X/2 y 1/2 para 2X” no están correctamente definidas para un único X fijo. El cálculo mezcla dos situaciones distintas como si fueran la misma.

Un análisis más cuidadoso necesita empezar con una descripción de cómo se eligen las cantidades en los sobres desde el principio. Por ejemplo:

•¿Se elige A de un rango limitado (por ejemplo, siempre entre 1 y 1 000)?

•¿Se elige A según alguna distribución de probabilidad (por ejemplo, potencias de 2 con ciertas probabilidades)?

•¿Puede A ser arbitrariamente grande, sin límite superior?

Dependiendo de estas suposiciones, las probabilidades de que el otro sobre contenga la mitad o el doble de tu cantidad no tienen por qué ser 1/2 y 1/2 una vez condicionas en la cantidad que ves.

Cuando usas un modelo de probabilidad coherente para cómo se elige A, encuentras que:

•O bien cambiar y no cambiar tienen exactamente el mismo valor esperado, o

•La regla de “cambiar siempre” no se cumple para todas las cantidades posibles.

En otras palabras, el argumento básico de “5X/4” se basa en un mal uso del símbolo X y en suposiciones poco realistas sobre las probabilidades.

FORMAS COMUNES DE RESOLVER LA PARADOJA

Diferentes explicaciones se centran en distintos aspectos del error. Estas son algunas de las más comunes.

•Cantidades acotadas o realistas

En el mundo real, el dinero no es infinito. Siempre hay algún límite práctico para cuánto podría haber dentro de un sobre. Cuando incluyes esos límites en tu modelo, el valor esperado de cambiar ya no es siempre mayor que el de quedarse. Para cantidades muy grandes, incluso puede ser más razonable no cambiar, porque es poco probable que haya una cantidad aún mayor en el otro sobre.

•El papel de la distribución previa

Para hablar de probabilidades y valores esperados, necesitamos especificar cómo se eligen las cantidades iniciales. A esta suposición de partida se le llama distribución previa. Si la distribución previa se elige mal (por ejemplo, de una forma que no tiene sentido para cantidades muy grandes), entonces aparece la paradoja. Con una previa razonable, el valor esperado de cambiar no es estrictamente mejor que el de quedarse para todos los posibles valores de X.

•Confusión de probabilidades condicionadas

El argumento paradójico trata la “probabilidad de una cantidad mayor” y la “probabilidad de una cantidad menor” como si siempre fueran 1/2. Pero una vez que ves o asumes una cantidad concreta X, estas probabilidades pueden cambiar. Puede volverse más probable que X sea la cantidad mayor o, al contrario, que sea la menor, según tu modelo. Ignorar este hecho lleva a conclusiones incorrectas.

•Ignorar la estrategia y centrarse solo en un paso

Otra forma de verlo es considerar estrategias completas, no solo un cambio aislado. Si siempre usas el argumento de “cambiar” en una situación simétrica, terminas con una estrategia que te dice que sigas cambiando de un lado a otro sin ganar nada. Esto muestra que el razonamiento no puede ser correcto, porque una buena regla de decisión no debería llevar a una indecisión interminable.

POR QUÉ IMPORTA ESTA PARADOJA

La paradoja de los dos sobres es más que una curiosidad. Ilustra varias ideas importantes:

•Nuestra intuición sobre probabilidad y valor esperado puede ser poco fiable cuando la información es incompleta.

•Es fácil escribir fórmulas que parecen correctas, pero que en secreto usan suposiciones inconsistentes.

•Tomar decisiones realistas requiere pensar con cuidado en cómo está planteada la situación, no solo en manipular el álgebra.

La paradoja está relacionada con temas de teoría de la probabilidad, teoría de la decisión e incluso filosofía. A menudo se utiliza para mostrar cómo los modelos “infinitos” o no acotados pueden generar resultados extraños y por qué es crucial especificar con precisión cómo se definen las probabilidades.

CONCLUSIÓN

La paradoja de los dos sobres parece simple: dos sobres, uno con el doble de dinero que el otro, y una opción libre para cambiar. Un cálculo rápido parece mostrar que cambiar siempre aumenta tu ganancia esperada. Pero cuando miramos con más cuidado, vemos que ese cálculo usa mal el símbolo X e ignora cómo se eligen realmente las cantidades en los sobres.

Una vez corregimos estas suposiciones, la paradoja desaparece. Cambiar no siempre es mejor; en muchos modelos razonables, el valor esperado de cambiar y el de no cambiar es el mismo. La paradoja es un recordatorio útil de que pensar con cuidado sobre las suposiciones es tan importante como hacer las cuentas.