Imagina una carrera entre Aquiles—el héroe griego más veloz—y una lenta tortuga. Para hacerlo más justo, la tortuga comienza con ventaja. Pero cuando Aquiles llega a ese punto de partida, la tortuga ya ha avanzado un poco. Cuando Aquiles llega ahí, ella ya ha vuelto a moverse.
¿Significa eso que Aquiles nunca la alcanzará?
Este curioso acertijo, una de las paradojas de Zenón de Elea del siglo V a.C., ha provocado debate durante siglos. Cuestiona ideas fundamentales sobre el movimiento, el tiempo y la divisibilidad infinita del espacio.
El razonamiento de Zenón: Movimiento dividido en infinitud
El argumento de Zenón se desarrolla así:
1. La tortuga comienza con ventaja, por ejemplo, 10 metros.
2. Aquiles alcanza el punto de inicio de la tortuga, pero esta ya se ha adelantado un poco.
3. Aquiles llega a ese nuevo punto, pero la tortuga ha vuelto a avanzar.
4. Este proceso se repite infinitamente. Aquiles debe recorrer una cantidad infinita de pequeños tramos.
Zenón concluye que, si hay pasos infinitos, Aquiles nunca la alcanzará.
La paradoja se basa en la idea de que dividir el espacio y el tiempo infinitamente hace que el movimiento parezca imposible.
Solución matemática: La suma de pasos infinitos
Lo que parece una contradicción se resuelve elegantemente con matemáticas. La persecución se descompone en una serie geométrica de distancias:
\( S = d_1 + d_2 + d_3 + \dots \)
Si Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga, las distancias pueden ser:
Primer tramo: 10 metros
Segundo: 1 metro
Tercero: 0,1 metros
Cuarto: 0,01 metros
Y así sucesivamente...
Esta es una serie geométrica infinita, cuya suma es finita:
\( S = \frac{10}{1 - 0.1} = \frac{10}{0.9} = \text{11.11 meters} \)
Como Aquiles es mucho más rápido, recorre esa distancia en poco tiempo y supera a la tortuga.
El hecho de que haya pasos infinitos no impide el movimiento porque la suma de infinitas distancias decrecientes puede ser finita.
Más allá de los números: El trasfondo de la paradoja
Aunque las matemáticas ofrecen una solución clara, Zenón plantea preguntas más profundas:
¿Es real el movimiento? Si el espacio puede dividirse infinitamente, ¿cómo podemos atravesarlo?
¿Existe el infinito en la naturaleza? ¿Cómo se completa una tarea con infinitos pasos?
¿Critica Zenón los límites del razonamiento? Tal vez buscaba mostrar que la lógica puede llevar a conclusiones absurdas.
Estas paradojas apoyaban la filosofía de Parménides, quien sostenía que el cambio es solo una ilusión. Hoy en día, estas ideas siguen siendo relevantes en la física moderna.
La ciencia moderna frente al pensamiento antiguo
Para la física contemporánea, el movimiento es continuo y no por pasos. Desde esta perspectiva, Aquiles supera sin duda a la tortuga.
Sin embargo, en física cuántica y a escalas extremadamente pequeñas (como la longitud de Planck), algunos científicos sugieren que el espacio-tiempo podría ser discreto. En este contexto, la paradoja de Zenón cobra nueva relevancia.
El cálculo, con sus límites y derivadas, permite manejar procesos infinitos y entender el movimiento real.
Conclusión: El héroe gana, la paradoja permanece
Aquiles alcanza a la tortuga, pero el enigma sigue vivo. Nos obliga a cuestionar cómo entendemos el infinito, el tiempo y el movimiento, y cómo se conectan estos conceptos en la ciencia, las matemáticas y la filosofía.
El antiguo relato de Zenón sigue siendo uno de los desafíos intelectuales más duraderos, recordándonos que incluso una simple carrera puede revelar los misterios más profundos del universo.
¿Hubieras pensado que Aquiles podía perder? Esa es la magia de una buena paradoja.