Das Zwei-Umschläge-Paradoxon: Wenn die Logik „Immer wechseln“ sagt”

Ein Entscheidungsproblem, in dem Wahrscheinlichkeit und Intuition aneinander geraten.

Das Zwei-Umschläge-Paradoxon ist ein bekanntes Gedankenexperiment über Entscheidungen unter Unsicherheit. Du bekommst zwei verschlossene Umschläge, in denen Geld liegt. Du weißt, dass in einem Umschlag eine bestimmte Summe A liegt und im anderen genau das Doppelte, also 2A. Du weißt aber nicht, welcher Umschlag welcher ist. Du wählst einen Umschlag und bekommst danach die Möglichkeit, zum anderen Umschlag zu wechseln. Ein bestimmter Argumentationsweg scheint zu zeigen, dass es immer besser ist zu wechseln – egal, welchen Umschlag du zunächst gewählt hast. Genau diese merkwürdige Schlussfolgerung macht das Ganze zu einem Paradoxon.

GRUNDSETUP DES PARADOXONS

Die Situation lässt sich so beschreiben:

•Es gibt zwei Umschläge. Einer enthält die kleinere Summe A, der andere die größere Summe 2A.

•Du weißt nicht, welcher Umschlag A und welcher 2A enthält. Aus deiner Sicht sind beide Umschläge zunächst gleich wahrscheinlich.

•Du wählst einen Umschlag und nennst den Betrag darin X (du hast den Umschlag noch nicht geöffnet; X ist nur ein Platzhalter).

•Bevor du öffnest, bekommst du die Möglichkeit, zum anderen Umschlag zu wechseln.

Die Frage lautet: Solltest du wechseln?

Auf den ersten Blick scheint es keinen Grund zu geben, einen Umschlag zu bevorzugen. Alles ist symmetrisch, also sollten Behalten und Wechseln gleichwertig sein. Das Paradoxon entsteht, weil eine verführerische Rechnung den Eindruck erweckt, dass Wechseln immer vorteilhaft ist.

WARUM ES SO AUSSIEHT, ALS SOLLTEST DU IMMER WECHSELN

Das übliche „paradoxe“ Argument geht so:

•Sei X der Betrag in deinem gewählten Umschlag.

•Falls dein Umschlag die kleinere Summe A enthält, ist im anderen Umschlag 2A = 2X.

•Falls dein Umschlag die größere Summe 2A enthält, ist im anderen Umschlag A = X/2.

•Aus deiner Sicht scheinen beide Fälle (A oder 2A) gleich wahrscheinlich zu sein, also jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2.

Dann berechnest du den Erwartungswert beim Wechseln so:

•Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 erhältst du beim Wechseln 2X.

•Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 erhältst du beim Wechseln X/2.

Erwartungswert des Wechselns:

(1/2) · 2X + (1/2) · (X/2)

= X + X/4

= 5X/4.

Das ist größer als X, also der Betrag in deinem aktuellen Umschlag. Daraus scheint zu folgen:

•Egal, wie groß X ist,

•der erwartete Gewinn beim Wechseln ist 5X/4,

•daher solltest du immer wechseln.

Hier entsteht das Paradoxon: Wenn die Rechnung stimmt, solltest du immer wechseln – sogar dann, wenn du ursprünglich bereits den „besseren“ Umschlag gewählt hast. Wendet man dieselbe Überlegung nach dem Wechsel an, bekommt man wieder das Ergebnis, dass man zurückwechseln sollte. Man würde sich unendlich hin- und herentscheiden – offensichtlich unsinnig. Also muss in der Argumentation ein Fehler stecken.

WO DIE LOGIK FEHLGEHT

Das zentrale Problem liegt darin, wie wir das Symbol X verwenden und wie wir Wahrscheinlichkeiten zuordnen.

Wenn wir sagen „Dein Umschlag enthält X und der andere enthält entweder X/2 oder 2X“, ändern wir unbemerkt die Bedeutung von X:

•Im Fall, dass dein Umschlag die kleinere Summe A enthält, gilt X = A und der andere Umschlag enthält 2X = 2A.

•Im Fall, dass dein Umschlag die größere Summe 2A enthält, gilt X = 2A und der andere Umschlag enthält X/2 = A.

X ist also kein fester, bekannter Wert. Es steht für „den Betrag, der zufällig in deinem gewählten Umschlag liegt“. Die Wahrscheinlichkeiten „1/2 für X/2 und 1/2 für 2X“ sind für ein festes X gar nicht sauber definiert. Die Rechnung mischt zwei verschiedene Situationen, als wären sie dieselbe.

Eine sorgfältigere Analyse muss damit beginnen, wie die Beträge in den Umschlägen überhaupt gewählt werden. Zum Beispiel:

•Wird A aus einem begrenzten Bereich ausgewählt (z. B. zwischen 1 und 1 000)?

•Wird A nach einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung gewählt?

•Kann A theoretisch beliebig groß werden?

Je nach Annahmen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten dafür, ob der andere Umschlag die Hälfte oder das Doppelte enthält, sobald du einen bestimmten Betrag siehst oder annimmst.

Mit einem konsistenten Wahrscheinlichkeitsmodell stellt sich heraus:

•Entweder sind Behalten und Wechseln im Erwartungswert gleichwertig, oder

•die Regel „Immer wechseln“ gilt nicht für alle möglichen Beträge.

Kurz gesagt: Das Argument mit dem Erwartungswert 5X/4 beruht auf einem falschen Umgang mit X und auf unrealistischen Wahrscheinlichkeitsannahmen.

GÄNGIGE LÖSUNGSANSÄTZE

Es gibt verschiedene Arten, das Paradoxon aufzulösen. Sie betonen unterschiedliche Aspekte desselben Problems.

•Begrenzte oder realistische Geldbeträge

In der Realität gibt es keine unendlichen Geldbeträge. Es existieren immer praktische Obergrenzen für das, was in einem Umschlag liegen kann. Nimmt man solche Grenzen ernst, ist der Erwartungswert des Wechselns nicht immer größer als der des Behaltens. Bei sehr hohen Beträgen kann es sogar vernünftiger erscheinen, nicht zu wechseln.

•Die Rolle der Anfangsverteilung

Um sinnvoll von Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten zu sprechen, muss man angeben, wie A ursprünglich gewählt wurde – das ist die sogenannte Anfangs- oder Prior-Verteilung. Wählt man diese Verteilung unpassend, entsteht das Paradoxon. Mit einer sinnvollen Verteilung zeigt sich, dass der Erwartungswert des Wechselns nicht für alle X strikt besser ist.

•Verwechslung bedingter Wahrscheinlichkeiten

In der naiven Rechnung behandelt man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der andere Umschlag mehr oder weniger enthält, stets als 1/2. Sobald man aber einen bestimmten Betrag X sieht oder annimmt, können sich diese Wahrscheinlichkeiten ändern. Je nach Modell kann es wahrscheinlicher sein, dass X der größere oder der kleinere Betrag ist. Ignoriert man diesen Punkt, kommt man zu falschen Schlüssen.

•Strategien statt Einzelschritt

Man kann das Problem auch als Wahl ganzer Strategien betrachten. Eine Strategie, die immer zum Wechsel rät, führt in dieser symmetrischen Situation dazu, dass man theoretisch endlos hin- und herwechseln würde, ohne einen echten Vorteil. Das zeigt, dass die zugrunde liegende Argumentation fehlerhaft ist.

WARUM DAS PARADOXON WICHTIG IST

Das Zwei-Umschläge-Paradoxon ist mehr als nur eine nette Knobelaufgabe. Es macht deutlich:

•Unsere Intuition über Wahrscheinlichkeit und Erwartungswerte kann uns täuschen, wenn Informationen fehlen.

•Man kann scheinbar korrekte Formeln aufschreiben, die auf unterschwelligen, inkonsistenten Annahmen beruhen.

•Gute Entscheidungen erfordern nicht nur Rechnen, sondern auch ein klares Verständnis des Modells, das man verwendet.

Das Paradoxon ist mit Themen der Wahrscheinlichkeitstheorie, Entscheidungstheorie und Philosophie verbunden. Es zeigt, wie „unendliche“ oder unbeschränkte Modelle zu seltsamen Ergebnissen führen können und wie wichtig es ist, Wahrscheinlichkeiten sauber zu definieren.

FAZIT

Auf den ersten Blick wirkt das Zwei-Umschläge-Paradoxon einfach: zwei Umschläge, einer mit dem doppelten Betrag des anderen, und eine freie Wahl zu wechseln. Eine schnelle Rechnung scheint zu zeigen, dass Wechseln immer vorteilhaft ist. Bei genauerem Hinsehen erkennt man jedoch, dass diese Rechnung das Symbol X falsch verwendet und ignoriert, wie die Beträge in den Umschlägen tatsächlich bestimmt wurden.

Korrigiert man diese Annahmen, verschwindet das Paradoxon. Wechseln ist nicht immer besser; in vielen plausiblen Modellen sind Behalten und Wechseln im Erwartungswert gleich gut. Das Paradoxon erinnert uns daran, dass saubere Annahmen genauso wichtig sind wie die eigentliche Rechnung.